Уроженец Житковичей и выпускник Могилевского машиностроительного института начинал трудовую карьеру автослесарем в строительно-монтажном управлении мелиорации.
В 35 лет Николай Домашкевич занял первую значимую должность — стал председателем исполкома Сенненского районного Совета народных депутатов.
В 90-е Домашкевич получил опыт работы в Контрольной палате Беларуси и в Службе контроля главы государства. Это сыграло решающую роль в его назначении на должность руководителя Комитета госконтроля. Он стал первым главой этого ведомства.
Позже он был губернатором Минской области, а также занимал пост управляющего делами президента.