Леонид Заяц родился в 1958 году в деревне, рядом с которой сейчас проходит трасса Р23 (Минск — Микашевичи). Первая рабочая должность после срочной службы в армии — тракторист в совхозе в Слуцком районе. Получил образование в Белорусской государственной сельхозакадемии. Дорос до главного агронома, а затем — до председателя колхоза.
В 1998 году стал директором Слуцкого комбината хлебопродуктов. Известность получил на посту топ-менеджера компании «Агрокомбинат «Дзержинский», куда пришел в 2008 году. До этого успел поработать в руководстве Миноблисполкома и немного побыть председателем райисполкома в Молодечненском районе.
Агрокомбинат «Дзержинский» при нем добился успехов в первую очередь как производитель мяса птицы. Предприятие получило сертификаты для продаж в Евросоюз, что по тем временам было редкостью. В 2012 году Заяц был замечен президентом, и гендиректора агропредприятия повысили до министра сельского хозяйства.
Эту должность Леонид Заяц занимал до марта 2019 года. Тогда на всю страну по госТВ и на интернет-ресурсах показали видео, где Александр Лукашенко отчитывает чиновников, в том числе Леонида Зайца.
«Ты посмотри на эту скотину! Она же вся обосранная, и уже на шерсти закорело все», — говорил президент министру, указывая на корову на одной из ферм в Шкловском районе.
После этого постов лишились и Заяц, и «сельскохозяйственный» вице-премьер Михаил Русый, и другие. Вскоре Зайца послали исправлять ситуацию в Могилевской области, где коровы оказались «обосранными». Он стал губернатором, а Русый — помощником президента по этому региону.
На посту главы Могилевского облисполкома Заяц пробыл до конца 2021 года. Затем стал вице-спикером Совета республики. Примерно через десять лет после ухода из агрокомбината «Дзержинский» и через три года после скандала с коровами назначен вице-премьером. Видимо, ненадолго.
«Вторая ваша задача, я это откровенно говорю, вы это знаете, — подготовить себе надежную замену. Вместе с главой Администрации предложить кандидатуру и в течение того времени, которое вы сочтете нужным, работать в должности вице-премьера», — сказал Зайцу президент.